ブラウン運動の定義と導出|学習メモ | LI techno  

ブラウン運動の定義と導出|学習メモ

ブラウン運動とは

次の性質を満たす連続確率過程\(\{B_t\}\)のこと
(定義)正規分布N(2Ct, 2Dt)に従う
ここでC,Dは\(2D=\lim_{\Delta r, \Delta t \to 0} \frac{(\Delta r)^2}{\Delta t}, p=1/2 + C\Delta t/2D, q=1/2-C\Delta t/2D\)を満たす定数です。

ブラウン運動の導出

考え方:
ランダム・ウォークは観測時点が離散的
一方で時点の間隔と位置の変化幅を同時に細かくして行った時にランダム・ウォークが極限においてどのように表現されるかを見る
ランダム・ウォーク\(S_n\)が観測値\(X_n\)(確率pで1を取り確率q=1-pで-1を取る確率変数)を用いて\(S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n\)のように表されているとき、ランダム・ウォーク\(S_n\)の期待値と分散は
$$E[S_n] = nE[X_n] = n\{1\cdot p + (-1)\cdot q\}=n(p-q)\\V[S_n]=nV[X_n] = n\{p+q-(p-q)^2\} = 4npq$$と表現出来ます。

ここで1回に変化する幅を\(\Delta r\)、それに要する時間を\(\Delta t\)と細かくすることを考えると時間tの間にt/\(\Delta r\)回の変動が起こるので、nをt/\(\Delta r\)に、幅1単位を\(\Delta r\)に置き換えてあげれば時刻tまでの総変位の期待値と分散はそれぞれ\((p-q)t(\Delta r/\Delta t), 4pqt(\Delta r)^2/\Delta t\) となります。

いま\(\Delta r\)と\(\Delta t\)を0に近づける。ここで注意すべきは\((\Delta r)^2/\Delta t\)が極値を持つように\(\Delta r\)と\(\Delta t\)を0に近づける必要があって、そのためにp-qを\(\Delta r\)と同じ速度で0へ収束させて期待値の極値も存在するようにすればいいということになります。式で表現すると
$$2D=\lim_{\Delta r, \Delta t \to 0} \frac{(\Delta r)^2}{\Delta t}, p=1/2 + C\Delta t/2D, q=1/2-C\Delta t/2D$$

となります。Dは拡散係数diffusion coefficient, Cはずれ driftと呼ばれています。このときの期待値と分散は
$$(p-q)t\cdot \frac{\Delta r}{\Delta t}= t\frac{C}{D}\cdot\frac{(\Delta r)^2}{\Delta t}\\
4pqt\frac{(\Delta r)^2}{\Delta t}=t\cdot \frac{(\Delta r)^2}{\Delta t} – (\frac{C\Delta t}{D})^2t\cdot $\frac{(\Delta r)^2}{\Delta t}$$
となります。最後に0に飛ばしてあげると期待値2Ct, 分散2Dtとなり、時刻tにおける位置\(S_n\)は期待値2Ct, 分散2Dtの正規分布N(2Ct, 2Dt)に従うことが導けました。これをブラウン運動 Brown motionと呼び\(B_t\)と書きます。

ブラウン運動は時間tに比例して期待値2Ctも分散2Dtも大きくことがわかりますよね。このことからDを拡散係数, Cをずれと呼ぶわけです。

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